高校数学 今日の実力テスト2-第1問：2重根号と4乗とこうだったらいいのにな！
高校数学 今日の実力テスト9月度後半第1問
「こうだったらいいのにな！」の願いをそのまま自然に書き進めて、辻褄を合せることで出来る典型問題。
「どういうことか？」って？
「P＝a⁴＋2a²b²＋b⁴だったらよかったのに」って思わないかい？
もし思わなかったのなら、「P＝a²＋ab＋b²」と書いてあったらどうだい？
「P＝a²＋2ab＋b²だったら僕でも因数分解できるのに」って思うのではないかな？
そう思ったら、自分の都合のいい式を書いてやって、現実と食い違うところの辻褄を合わせてやれぃ！
後者の例だったとすれば、「P＝a²＋2ab＋b²－ab」ってしてやればいいんだよ！
「それがどうした？」って思うかもしれないけれど、問題によっては大いにこの作業が功を奏するんだよ！
例えば、a＋bとabの値が与えられたとすると、「P＝a²＋ab＋b²」のままでは手も足も出ないけれど、
「こうだったらいいのにな！」の形にして辻褄を合わせたなら、ほら簡単に値が出る！
前者の例だったら、もっとダイレクトにそのメリットが見えるよ！
「P＝a⁴＋2a²b²＋b⁴－a²b²」となるから、「(a²＋b²)²－(ab)²」になっちゃって、もうホクホクだよね！
さて、(1)で出て来た因数分解の形が、(2)を解くヒントになってるであろうことはいつものことだよね！
(2)の式が2重根号になっていることと、問題の与式自体が4乗で与えられていることが、何となく関係がありそうだよ！
さて、2重根号はそのままだと、如何ともしがたいから、2乗して1つの根号を外しちゃうしか手がないよね！
あとは、数式を暗記する記号としてではなく、次の行の日本語を理解できるように、参考書でも見直してみてください。
a＋b と a－b が与えられれば、a×b はそれぞれの値を求めることなく値が求まりますが、それは何故？
変幻自在に式を操るための最も基本で最も頻出の典型問題です。
オール会員の諸君は【因数の頭に解宿る】の該当部分を、この際に再度、噛みしめておきましょう。
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3つの辺が整数になる直角三角形、どれだけ言えますか？
君は、
・直角を挟む2辺の長さが3と4の直角三角形の斜辺の長さが5であること
あるいは、
・3辺の長さが3,4,5である三角形は直角三角形であること
を知っているのではないでしょうか？
今日は、そんな直角三角形とは全く無縁そうで、誰も連想すらしないであろう複素数が、直角整数三角形を暴いてくれるというお話のさわりに関するイントロだけをご紹介しておきたいと思います。
このページは予想通り大変人気のページとなっています。
まずは不思議さを感じるだけでも、何かのきっかけになるかもしれませんし、機械的に処理できる優等生君にも、新たな気づきをもたらしてくれるかもしれませんね。
虚数iを掛けるということによって、一旦、虚の世界に出かけることで現実が解明できたり、扱いやすくなることが見えてくる真実の世界への架け橋になり得る手段なんだということが分かるための知恵の一つです。
複素数や虚数、フーリエ変換やラプラス変換が現代文明に寄与した大元とも言えるのですから...。
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小学生が立体感覚をつかむには？
展開図を組み立てて立方体を作るとき、どの辺とどの辺がくっつく？
立方体で理解した後は、正八面体でチャレンジしてみよう！
これをしっかりとじっくりと経験しておけば、立体感覚の糸口がつかめるよ！
こういった類の指導が一つの方法として出来ない指導者が如何に多いことか！
それは、平均的な保護者さんではそこまでは見えないことだということが、ピンキリのキリの教育産業が隆盛を極める盲点となっています。
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僕は人にものを教えることはできない
「貴方の中に鑑真を見た。」と言わしめた【帝都大学へのビジョン】の指導理念は、まさに次の言葉です！
--Galileo Galilei の言葉より--
You cannot teach a man anything, you can only help him find it within himself.
僕は人にものを教えることはできない。
できることは、相手のなかにすでにある力を見いだすこと、その手助けである。
「これが出来ない指導者が如何に多いことか！」と嘆かれるのであれば、本書を読むだけの方がよほど有益です。
それほど、的を射た普通の人のための真っ当な勉強法であり、天分を持った人には、その天分を開花させる勉強法です。
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算数・数学センスの要を鍛える
算数のセンスを身に着けるためのスタートラインは、最も上流にある源泉中の源泉「数に対するセンス」を鍛えることに尽きます。
一言で言えば、「数を多点カメラで見る＝分節して考える力」です。
すべての単元に絡んできますから、綜合的な算数力・数学力を決める要になります。
たとえ、難関の進学校に入学できても、中高と進むにつれて数学ができなくなっていく場合は、ここが鍛えられていないことが表面化してくるということに過ぎません。
ですから、大学受験で数学がネックになっている場合も、極端に言えば「先に、難関中学の算数入試過去問題を自力で解き切るぐらいのレベルにする方が早道だよ」とすら言っても過言ではないと思いますよ。
その具体的な内容は、高校数学であろうが小学算数であろうが、脳細胞の動きを視座として資料の中に多く散りばめています。
中学受験を目指すお子さんの保護者さんにも、算数・数学のセンスを養う源泉を突く資料として、下記を資料としておりますのでご参考にされてください。
ある意味、この17問だけでも、丁寧に理解するように噛みしめれば、算数・数学のセンスは一挙に飛躍する可能性が高まることでしょう。
まぁ、いつの時代も変わりなく存在する真面目に勉強する層を除いては、
- あまりにも、日本語の語彙レベル、及び言葉を扱う力が欠如している。（とうてい読解力などのレベルではない：大きくはスマホ、その中でも特にSNSの影響でしょうが…）
- 感情を表現する言葉だけには長けているが、論理的な接続など全く意識すらない。（SMNSはじめ、単語の羅列文化の影響）
- したがって、数学語に変換することなど到底できませんし、真っ当な世界であれば必須とされる論理性すらないことにどうも思わない。
- ですから、逆に数学語を日本語で理解する気もないし、しようともしない
これが、ゆとり教育で落ちたところに、安易なSNS社会がさらに追い打ちをかける社会の現実となっています。
2009年にZ会の担当者様よりいただいたメールでは、かなりできる層ですら明らかに数学力は落ちているようですから、スマホ三昧の今ではどうなのかを想像すると恐ろしい気もします。
ただ、どの国でも同じ傾向ですから、少しは安心できるものの、韓国と肩を並べて世界有数のエンタメ好き・情報弱者であることは間違いない種族のようですから、相当世界の中では厳しいポジションに堕ちていくことは容易に想像されます。
ぶっちゃけた話、2012年以降は、マジョリティと呼ばれる世界ではこういった状況ですが、悲しむべきでないのは、そうならない層はいつでも健在に存在するということです。
「帝都大学へのビジョン」に付属した中学受験生向け資料の詳しくは、
算数・数学センスへの扉 | 前提的2要素
- 169や196という数字を見れば、瞬間的に何かを想起しますか？
（小学生以上：算数センスの第二歩＝数字を分節して見る）
- 17×18や19×16という計算を見て、暗算で答が出せますか？
（小学生以上：算数センスの第一歩＝楽をして計算する）
- 与えられた式の中に
という並びを見れば、瞬間的に想起することがありますか？
（高校生以上：算数センスの第二歩とリンクする）
という式なんだけれど、√が入ると気が付かないのではないかな？「算数・数学センスへの扉」と言い得るのは、たかだかこの2要素だけと私たちは考えています。
多くを挙げ過ぎると、気持ちを分散させてかえって何もしないままに終わってしまうことを知っていることもありますが、正味、「センスの扉」というのは、たかだかこの2つに集約されます。
とはいっても、「算数センスの第二歩＝数字を分節して見る」力は、様々な形で、すべてと言っていいほどに至る問題にて駆使しなければならない共通のリテラシーと言えますので、「扉」としての位置づけとともに「要」として位置づけています。
これを、もう少し拡張した「算数・数学センスへの道」というべきものは、次のコンテンツに譲ることにしますので、下記をご参照ください。
そして、これらを具体的に理解いただくためには、小学生にしろ高校生にしろ、「帝都大学へのビジョン」及びその資料群で感じていただくしか道はないと思います。
最後に申し上げておきますが、当ブログでコンテンツにしている問題や「帝都大学へのビジョン」及びその資料群で使っている問題は、そのほとんどが「数字を分節して見る力」を養うためにあるといっても過言ではありません。
さらに、小学生から高校生まで共通して算数・数学センスを鍛えることのできる最適な素材は、分数・整数、及び、これらで構成される数列であることも申し上げておきましょう。
